本質層大學
導數與最佳化
大學・本質層
導數是瞬間變化率，也是切線斜率。函數在可微分的地方取到局部最大或最小時，導數是 0，所以最佳化常從找導數為 0 的點開始，再比較端點，最後回頭檢查假設。
一句目標 把圓柱罐的表面積寫成半徑的函數，用導數求出最省料的半徑和高，並說明改變成本假設後最佳解怎麼變（數字是示意）。
家長檢核 不看本頁，自己算出 r ≈ 3.82 公分、h ≈ 7.64 公分（h ＝ 2r），驗算 r ＝ 3 和 r ＝ 5 的表面積都比較大，並說出上下蓋貴 2 倍時最佳解變成 h ＝ 4r；三件事都對（數字是示意）。
情境
設計一個裝 350 毫升（350 立方公分）的圓柱罐，假設上下蓋和側面用同樣的材料，找出表面積最小的半徑和高；再改成上下蓋比較貴，看最佳解怎麼變（數字是示意，本站整理）。
引導問題
- 數學上的最佳解，換了假設還會是同一個嗎？
- 裝 350 毫升的圓柱罐，半徑多少最省料？
學科路徑
數學 / 分析 / 變化率
能力標籤
這是網站自己的專才／通才標籤，不是課綱代碼。
專才
微積分
通才
建模、跨域思考
人機分工
可以交給工具
- 求導、驗算、畫圖（先自己算一次再對照，本站建議）
要自己經歷
- 說明一個最佳解依賴哪些假設
先備
- 極限與連續 · 本質層 · 大學
- 函數的眼光：指數與對數 · 本質層 · 高中
把這裡當先備
連結
跨學門關聯：經濟（邊際成本）、土木與建築（材料最佳化）、資訊與 AI（梯度下降）
練習
目標：把圓柱罐的表面積寫成半徑的函數，用導數求出最省料的半徑和高，並說明改變成本假設後最佳解怎麼變（數字是示意）。 檢核：不看本頁，自己算出 r ≈ 3.82 公分、h ≈ 7.64 公分（h ＝ 2r），驗算 r ＝ 3 和 r ＝ 5 的表面積都比較大，並說出上下蓋貴 2 倍時最佳解變成 h ＝ 4r；三件事都對（數字是示意）。
在主線上的位置
- 數感→代數→函數→微積分
前一筆：函數的眼光：指數與對數
後一筆：沒有
內容授權
授權：待定。授權文字尚未公告。