微分方程與數學建模
大學・本質層
很多現象的變化率取決於現況：熱水和室溫差越多，降溫越快。把這個關係寫成微分方程，解出公式，再拿資料比對；對不上時，要回頭檢查模型的假設。
一句目標 把牛頓冷卻定律寫成微分方程，用示意數據定出常數，預測水溫降到 40°C 的時間，並說出模型用了哪些假設（數字是示意）。
家長檢核 不看本頁，自己寫出 dT/dt ＝ −k(T − 25)、算出溫差每 10 分鐘減半、預測 20 分鐘降到 40°C，並說出室溫不變是模型的假設；三件事都對（數字是示意）。
情境
一杯熱水放在 25°C 的房間，已經記好每 2 分鐘的溫度（示意數據：85、77.2、70.5、64.6、59.5、55°C）。用牛頓冷卻定律建立模型，預測什麼時候降到 40°C；本頁只用數據計算，不需要自己燒水或碰熱水（本站整理）。
引導問題
- 模型預測錯了，是模型壞了還是假設錯了？
- 知道降溫多快和現在幾度，能預測之後的溫度嗎？
學科路徑
數學 / 分析 / 建模
能力標籤
這是網站自己的專才／通才標籤，不是課綱代碼。
專才
數學建模
通才
建模、跨域思考
人機分工
可以交給工具
- 求解與模擬
要自己經歷
- 決定模型假設、判斷模型與現實的落差
先備
- 積分：累積與面積 · 本質層 · 大學
- 函數的眼光：指數與對數 · 本質層 · 高中
連結
跨學門關聯：生物（族群）、物理（熱）、哲學（複雜性思維與模型的限度）
練習
目標：把牛頓冷卻定律寫成微分方程，用示意數據定出常數，預測水溫降到 40°C 的時間，並說出模型用了哪些假設（數字是示意）。 檢核：不看本頁，自己寫出 dT/dt ＝ −k(T − 25)、算出溫差每 10 分鐘減半、預測 20 分鐘降到 40°C，並說出室溫不變是模型的假設；三件事都對（數字是示意）。
家庭時間
一起讀這條主線
主線：數學建模數學建模
孩子讀「數感：大概有多少？」，大人讀「微分方程與數學建模」，一起記錄一杯熱水的冷卻。
可以一起問
- 模型預測錯了，是模型壞了還是假設錯了？
- 知道降溫多快和現在幾度，能預測之後的溫度嗎？
一起做
一杯熱水放在 25°C 的房間，已經記好每 2 分鐘的溫度（示意數據：85、77.2、70.5、64.6、59.5、55°C）。用牛頓冷卻定律建立模型，預測什麼時候降到 40°C；本頁只用數據計算，不需要自己燒水或碰熱水（本站整理）。
在主線上的位置
- 數學建模
前一筆：函數的眼光：指數與對數
後一筆：沒有
內容授權
授權：待定。授權文字尚未公告。